선형대수 개념잡기 추천 동영상(feat. 무에서 유가 어려운 이유(탈모 치료가 힘든 이유?)

www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

Essence of linear algebra

 

굉장히 좋은 동영상을 발견했다.

 

눈으로 보면서 동영상을 보니까 더욱 이해가 잘된다. 항상 보면서 헷갈렸던 개념들을 복습하기 좋은 컨텐츠!

 

 

 

 

공감의 따봉 박아줬다.

 

 

 

 

동영상 내용을 하나씩 살펴보고 있는데, 재밌는 내용이 있고 거기에 관한 잡생각이 떠올라 추가로 정리한다...!

 

 

 

선형대수를 정형화된 계산법이 아니라 기하학적인 측면으로 접근한 계산법이라 기존의 알고있던 내용들도 감회가 새롭게 다가온다.

 

 

내가 본 내용은 어떤 행렬의 행렬식 값이 0 인 경우, 역행렬이 존재하지 않는 이유에 관해서다.

 

 

 

행렬의 선형변환은 기저 벡터($\hat i, \hat j$)가 기존의 좌표(1,0), (0,1)에서 새로운 좌표로 얼만큼 변화하는지를 나타낸 것이다.

 

행렬식 값은 선형변환이 완료된 기저벡터의 사각형 면적을 나타낸 것이다.

 

여기서, 행렬식의 값이 0이란 소리는 기저벡터의 사각형의 면적이 0이란 소리고, 이는 결국 2차원이 1차원 선의 형태이든 0차원 점의 형태이든 압축이 되어 사각형이 만들어지지 않은 상태인 것이다.

 

 

 

그럼 역행렬은 무엇인가?

 

어떠한 벡터 A의 선형변환된 벡터가 B라고 한다면, A에서 가한 선형변환을 역으로 가하는 것이다.

(예를 들어, 공간을 왼쪽으로 90도 회전한게 선형변환이라면 이를 역으로 오른쪽으로 90도로 회전하는 것)

 

이를 통해 B벡터에서 역선형변환(역행렬을 곱함)을 통해 원래의 벡터 A를 알 수 있게 된다.

 

 

하지만 행렬식 값이 0이라면? 2차원 공간이 압축되어 선으로만 표현된 상태라면? 그 상태에서 원래의 벡터 A를 위한 변환이 왜 안되는 걸까?

 

 

그 이유는 위의 캡처 사진에서 알 수 있다.

뭉게진 선을 되돌려서 평면으로 만들 수 없기 때문이다.

 

 

즉, 원래 있던 2차원 공간을 선으로, 점으로 압축시키거나 뭉게는 것은 가능할 지언정, 선이나 점으로 압축된 차원을 원래의 2차원 공간으로 되돌리는 것은 불가능한 것이다.

 

 

다른 말로, 유에서 무는 쉽다. 다만, 무에서 유는 굉장히 어렵다는 것.

 

 

 

 

잘 모르고 하는 경솔한 발언이지만, 우리가 사는 지구, 혹은 우주가 다른 차원의 존재가 프로그래밍을 통해 만들어낸 시스템이라는 설이 있다.

 

 

그 설을 뒷받침하는 이유 중 하나는 전자의 움직임을 아주 쪼개고 쪼개다 보면 연속적으로 움직이는 것이 아닌 딱 딱 끊어져서 움직인다는 것.

 

 

예를 들어서, 롤에서 챔피언의 움직임은 모니터를 통해서 관측된다. 이 때, 챔피언은 부드럽게 달리는 것 처럼 모니터에 나타나지만, 이를 쪼개고 쪼개고 깊게 들어가다보면 하나의 픽셀단위의 움직임으로 표시된다.

 

여기서

여기로!

 

 

다만 이게 우리 눈에 부드럽게 관측되어 연속적인 동작으로 보일 뿐이다.

 

 

 

그런데, 현실세계도 이와 똑같다는 것!

 

물질을 쪼개고 쪼개다 보면 원자와 전자가 나온다.

양자역학에서는, 전자가 움직이면서 궤도를 바꿀 때 양자도약이라는 것을 한다.

 

문제는 이 궤도를 바꿀때 전자의 움직임이 연속적이라는 것이 아니라, 픽셀에서 캐릭터의 움직임 처럼, 순간이동을 하는 것 처럼 불연속적이라는 것이다.

 

 

선형대수 이야기 하다가 왠 여기까지?(ㅋㅋㅋ)

 

 

 

어쨋든, 탈모를 선형대수 문제로 생각해보았다.

 

정상적인 머리의 상태가 A 벡터이고, 이 때 X라는 선형변환을 통해 탈모인 B 벡터로 변환이 된 상황이라고 가정하면

 

우리가 원하는 건 역행렬 X를 곱하여 A의 벡터를 다시 찾아내는 것이다.

그런데, 행렬식이 0인 경우. 즉, 차원이 압축되어 변환이 일어나서 역행렬을 찾을 수 없는 상황이 되어 버려 그 많은 연구개발비를 투입해도 탈모 이전의 상태로 되돌리기 힘든 것이 아닐까..

 

란 생각이 문득 들었다.

 

 

 

정말 말 그대로 말도 안되는 말이지만 이런 상상이 수학에 관한 흥미를 끌어 올린다.

 

재밌다.